Подсчёт с повторами: расположения, группы и «звёздочки и палочки»
Расставь шарики одного цвета в ряд, посчитай коды с повторяющимися цифрами, распредели учеников по комнатам и сосчитай букеты цветов методом «звёздочек и палочек».
- Иран: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе (9–10 классы, курс «Вероятность и статистика», раздел «Элементы комбинаторики») есть правила сложения и умножения, перестановки, факториал и число сочетаний. Перестановки с повторениями, разбиение на группы и метод «звёздочек и палочек» там отдельно не рассматривают, но они следуют из тех же правил.
Если некоторые предметы одинаковые, их обмен местами не даёт нового расположения. Если считать, что все предметы разные, каждое настоящее расположение будет посчитано несколько раз, поэтому n! делим на факториал числа предметов каждой группы одинаковых.
Типичные ошибки, которые здесь разбираются: одинаковые предметы считают разными, не делят на факториалы, забывают о комнатах, которые уже заполнены, и считают места только для палочек вместо мест для звёздочек и палочек вместе.