Чева, Менелай, Птолемей и прямая Эйлера
Дополнительные теоремы: когда три чевианы пересекаются в одной точке, когда три точки лежат на одной прямой, произведение диагоналей вписанного четырёхугольника и прямая Эйлера.
- Россия: 9 класс
- Украина: 8 класс
Подсказки для взрослых
Теоремы Чевы и Менелая входят в программу 9 класса (в углублённом изучении геометрии), остальные теоремы встречаются в дополнительном материале учебников. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁, соединяющие вершины треугольника ABC с точками A₁, B₁, C₁ на противоположных сторонах, называют чевианами.
Теорема Чевы. Чевианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (AC₁ : C₁B) · (BA₁ : A₁C) · (CB₁ : B₁A) = 1. Теорема Менелая: точки A₁, B₁, C₁ (две на сторонах, одна на продолжении стороны) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено то же равенство.
Теорема Птолемея. Для четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: AB · DC + BC · AD = BD · AC.
Прямая Эйлера. В любом треугольнике центр описанной окружности O, точка пересечения медиан M и ортоцентр H лежат на одной прямой, и HM = 2MO.