Удвоение медианы и теорема Вариньона
Достраивай чертёж: удвой медиану, получи параллелограмм и докажи неравенство для медианы; соедини середины сторон любого четырёхугольника и посмотри, какая фигура получается.
- Россия: 8 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе эта тема относится к 8 классу, геометрия (Атанасян, Мерзляк): параллелограмм и его свойства, средняя линия треугольника, приёмы дополнительных построений. Теорема Вариньона и удвоение медианы встречаются в задачах повышенной трудности и в кружках.
Удвоение медианы: на продолжении медианы AM за точку M откладывают отрезок MD, равный AM. Диагонали четырёхугольника ABDC делятся точкой M пополам, поэтому ABDC — параллелограмм и BD = AC. Из неравенства треугольника для ABD получают AD < AB + BD, то есть 2·AM < AB + AC.
Теорема Вариньона: середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Каждая сторона этого параллелограмма — средняя линия треугольника, образованного диагональю, поэтому она параллельна диагонали и равна её половине.
Перетаскивай цветные точки и следи за числами под чертежом. Оформляя решения, пиши «Дано», «Найти», «Решение», «Ответ».