Формулы сложения, двойного и тройного угла, сумма и произведение
Применяй формулы сложения с точными значениями, чтобы найти sin 75°, потом работай с двойным и тройным углом, преврати сумму синусов в произведение и запиши √3sinx + cos x в виде одного синуса.
- Россия: 10 класс
- Украина: 10 класс
- Германия: 10 класс
- Великобритания: Year 12
- Иран: 11 класс
- Афганистан: 10 класс
- Сирия: 11 класс
Подсказки для взрослых
Тема относится к алгебре 10 класса («Основные тригонометрические формулы», «Преобразование тригонометрических выражений»). Каждый ответ получается из точных значений для 30°, 45° и 60°; на рисунке показаны используемые углы на единичной окружности.
Формулы сложения: sin (α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ, cos (α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ и tg (α + β) = tgα + tgβ1 − tgαtgβ. Для α − β знаки меняются. Синус не «раскрывается» по сумме: sin (α + β) не равен sinα + sinβ.
Если взять β = α, получатся формулы двойного угла sin 2α = 2sinαcosα и cos 2α = cos2α − sin2α, а затем sin 3α = 3sinα − 4sin3α.
Сумма синусов превращается в произведение: sinα + sinβ = 2sin(α + β2)cos (α − β2). А asinx + bcosx = Rsin(x + φ), где R = √(a2 + b2) и tgφ = ba; этот приём называют введением вспомогательного угла.