Общие решения тригонометрических уравнений
Прямая y = b пересекает график синуса, косинуса или тангенса в бесконечном числе точек. Запиши все решения одной формулой с n ∈ Z, а в уравнении, которое сводится к квадратному, отбрось корень, который невозможен.
- Россия: 10 класс
- Украина: 10 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе простейшие тригонометрические уравнения и арккосинус, арксинус, арктангенс изучают в 10 классе (алгебра и начала математического анализа). Уравнение cos x = b можно решать по графику: прямая y = b пересекает косинусоиду, когда |b| ≤ 1. На оси x подписаны обычные числа, поэтому π ≈ 3,14.
Для cos x = b при |b| ≤ 1 корни равны x = ±arccos b + 2πn,n∈Z, где arccos b лежит в [0;π], а arccos (−b) = π − arccos b. Частные случаи cos x = 0, cos x = 1, cos x = −1 записывают без знака ±.
Для sin x = b: x = (−1)narcsin b + πn,n∈Z. Для tg x = b: x = arctg b + πn,n∈Z; для ctg x = b: x = arcctgb + πn,n∈Z.
Когда уравнение сводится к квадратному относительно sin x или cos x, замена t = sin x даёт значения t; каждое из них должно лежать в [ − 1;1], иначе решений нет.