Углы, пересечения и расстояния в пространстве
Найди угол между прямой и плоскостью, точку пересечения прямой и плоскости, расстояние от точки до плоскости и угол между двумя плоскостями с помощью скалярного произведения и уравнений.
- Россия: 11 класс
- Германия: 12 класс
- Франция: 12 класс
- Великобритания: Year 13
- Иран: 12 класс
- Сирия: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе углы между прямыми и плоскостями изучают в 11 классе (геометрия, координатно-векторный метод). Угол θ между прямой (направляющий вектор d⃗) и плоскостью (нормальный вектор n⃗) находят через синус: sinθ равен модулю скалярного произведения d·n, делённому на произведение длин двух векторов. Угол между двумя плоскостями — это острый угол между их нормалями.
Чтобы найти точку пересечения прямой r = a + td с плоскостью, подставь координаты точки прямой в уравнение плоскости и реши его относительно t. Расстояние от точки P до плоскости Ax + By + Cz = D равно модулю разности (левая часть в точке P минус D), делённому на длину нормали.
Частые ошибки: брать косинус вместо синуса для угла с плоскостью, забывать делить и брать тупой угол вместо острого между двумя плоскостями.