Розкладання квадратного тричлена і формули скороченого множення

В українській програмі цю тему вивчають у 7 класі (алгебра): розкладання многочленів на множники, зокрема різниця квадратів, повний квадрат і сума та різниця кубів. У 7 класі розкладають лише повні квадрати; тричлен із двома різними коренями розкладають у 8 класі.

Щоб розкласти на множники x² + 5x + 6, склади його плитки в прямокутник: сторони — це дві дужки, (x + 2)(x + 3). Добуток двох чисел дорівнює 6, а сума дорівнює 5.

Якщо є від'ємні члени, білі й червоні смужки в прямокутнику утворюють нульові пари: у (x + 3)(x − 2) 3 білі і 2 червоні смужки, залишається одна біла смужка, x.

Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку їхньої різниці та суми: a² − b² = (a − b)(a + b). Наприклад, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), 4a² − 25b² = (2a − 5b)(2a + 5b) і x⁶ − 1 = (x³ − 1)(x³ + 1). Смужки знищуються повністю. x² + 9 так не розкладається.

Тричлен, який можна подати у вигляді квадрата двочлена, називають повним квадратом: x² + 10x + 25 = x² + 2·x·5 + 5² = (x + 5)². Так само 9a⁶ − 42a³b² + 49b⁴ = (3a³ − 7b²)².

Завжди спочатку виноси спільний множник за дужки: 2x² + 10x + 12 = 2(x² + 5x + 6).

Сума кубів: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Доведемо множенням: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³. Куб з ребром a + b розрізається на a³, b³, три блоки a²b і три блоки ab², тому (a + b)³ не дорівнює a³ + b³.

Сторону будуй кнопками − і +: прямокутник заповнюється сам і показує свою площу. На дошці множників натисни на фішку, потім на «Розкласти».