Сума й добуток коренів, приховані квадратні рівняння, перетин прямої та параболи

Теорема 20.⁠1 (теорема Вієта). Її вивчають у 8 класі (алгебра). Якщо рівняння x² + bx + c = 0 має корені x₁ і x₂, то (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Отже, сума коренів x₁ + x₂ = −b, а добуток x₁x₂ = c. Для ax² + bx + c = 0 теорема Вієта: x₁ + x₂ = −ba і x₁x₂ = ca. Їх можна прочитати, не знаходячи самих коренів. Обернена теорема: якщо x₁ + x₂ = −p і x₁x₂ = q, то x₁ і x₂ — корені рівняння x² + px + q = 0. За теоремою Вієта можна знайти й значення виразу, наприклад x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂, не обчислюючи коренів.

Деякі рівняння не є квадратними, але зводяться до квадратних. У рівнянні x⁴ − 5x² + 4 = 0 уведи нову змінну t = x²: дістанемо t² − 5t + 4 = 0. Спершу розв'яжи рівняння відносно t, а потім із x² = t знайди x. Таке рівняння ax⁴ + bx² + c = 0, де a ≠ 0, називають біквадратним, а спосіб розв'язування — методом заміни змінної. Корені t₁ = 1 і t₂ = 4 дають чотири корені x₁ = −2, x₂ = −1, x₃ = 1, x₄ = 2.

Пряма й парабола перетинаються там, де їхні значення y однакові. Прирівняй два вирази для y: дістанеш квадратне рівняння, і кожен його корінь — це абсциса точки перетину.

У кожному завданні познач корені або значення x точками на числовій прямій.