Степені, корені та кола на комплексній площині
Користуйся e^{iθ} як точкою одиничного кола, підноси числа до степеня за формулою Муавра, знайди чотири корені числа як вершини квадрата й побудуй коло за умовою |z − c| = r.
- Росія: 11 клас
- Франція: 12 клас
- Велика Британія: Year 12
- Сирія: 12 клас
Поради для дорослих
В українській програмі (рівень стандарту) цієї теми немає; вона продовжує тригонометрію 10 класу та вчить бачити комплексні числа геометрично. Число eiθ — це точка одиничного кола, що лежить під кутом θ: eiθ = cosθ + isinθ. Число з модулем r й аргументом θ записують reiθ. Пів оберту — це π радіан, тому eiπ = −1.
Формула Муавра: щоб піднести число до степеня n, підніс його модуль до степеня n і помнож аргумент на n. Усі n коренів числа мають однаковий модуль, а їхні аргументи відрізняються на 360° : n, тож корені — вершини правильного многокутника. Корені рівняння zn = 1 називають коренями з одиниці, і вони лежать на одиничному колі.
Відстань від z до заданої точки c дорівнює |z − c|. Тому |z − c| = r — це коло з центром c і радіусом r.