Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику та властивості пропорції
Проведи висоту до гіпотенузи прямокутного трикутника й переконайся, що CD² = AD·DB. Знайди катет за цією рівністю, використай властивість пропорції та виведи теорему Піфагора з тієї самої фігури.
- Росія: 8 клас
- Німеччина: 9 клас
- Іран: 10 клас
Поради для дорослих
Ця студія відповідає темі «Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику» з геометрії 8 класу. Властивості пропорції діти знають із 6 класу.
У трикутнику ABC кут C прямий, CD — висота, проведена до гіпотенуза AB. Два малі трикутники ACD і CBD подібний до ABC, тому з рівності відношень маємо CD² = AD·DB, AC² = AB·AD і BC² = AB·DB. Відрізки AD і DB називають проєкціями катетів AC і CB на гіпотенузу AB. Лема: висота, проведена до гіпотенузи, ділить трикутник на два трикутники, подібні йому. Теорема 15.1: квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу, а квадрат катета — добутку гіпотенузи і проєкції цього катета на гіпотенузу; у загальному запису hc2 = ac·bc, a2 = ac·c, b2 = bc·c.
Властивість пропорції: якщо ab = cd, то a + bb = c + dd.
Додамо рівності для двох катетів: AC² + BC² = (AD + DB)·AB = AB². Це теорема Піфагора. Відрізок довжиною √(ab) будують як висоту прямокутного трикутника, гіпотенузу якого ділить висота на відрізки a і b.