Корені n-го степеня і степені з раціональним показником

В українській програмі корінь n-го степеня й степінь із раціональним показником вивчають у 10 класі (алгебра).

Коренем n-го степеня з числа a, де n ∈ ℕ, n > 1, називають таке число, n-й степінь якого дорівнює a. Арифметичним коренем n-го степеня з невід'ємного числа a називають таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює a. Позначають ⁿ√a. Наприклад, ⁴√81 = 3, бо 3 ⩾ 0 і 3⁴ = 81; ⁶√64 = 2; ¹⁰√0 = 0. Для арифметичного кореня ⁿ√a ⩾ 0 і (n√a)ⁿ = a.

Якщо n парне, то додатне число a має два корені n-го степеня, протилежні числа; наприклад, коренями рівняння x⁴ = 5 є два числа: −⁴√5 і ⁴√5. Від'ємне число не має кореня парного степеня. Якщо n непарне, то кожне число має рівно один корінь n-го степеня, того самого знака; наприклад, ³√(−2) = −³√2, і взагалі ²ᵏ⁺¹√(−a) = −²ᵏ⁺¹√a. Знак ⁿ√a завжди означає арифметичний (невід'ємний) корінь.

Правило добутку: ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab) для невід'ємних a і b.

Степінь із раціональним показником визначають лише для a > 0: a¹ⁿ означає ⁿ√a, а a^mn означає ⁿ√aᵐ, що дорівнює (ⁿ√a)ᵐ.