Переміщення і гомотетія

Ця студія для 9 класу: в українській програмі рух (переміщення) фігур — паралельне перенесення, осьову і центральну симетрію, поворот — і подібність фігур вивчають у курсі геометрії 9 класу; гомотетію там розглядають як приклад перетворення подібності.

паралельне перенесення, осьова симетрія і поворот переміщують фігуру, не змінюючи довжин її сторін і кутів: образ дорівнює початковій фігурі. Тільки осьова симетрія змінює напрям обходу: якщо вершини A, B, C йдуть проти годинникової стрілки, то в дзеркальному образі вони йдуть за годинниковою, так само як права рука в дзеркалі виглядає лівою. Перетворення, яке зберігає відстані між точками, називають рухом (переміщенням): A₁B₁ = AB. Образ відрізка — відрізок, образ кута — рівний йому кут, образ трикутника — рівний трикутник. Дві фігури називають рівними, якщо існує рух, який переводить одну з них в другу: F = F₁.

Під час гомотетії з центром O і коефіцієнтом k кожна точка залишається на своєму промені з O, а її відстань до O множиться на k. Вимірюйте від центра, а не від фігури. Коефіцієнт більший за 1 збільшує фігуру; коефіцієнт між 0 і 1, наприклад 12, зменшує її. Кути не змінюються, тому образ подібний до початкової фігури. Означення за допомогою векторів: точка X₁ — образ точки X при гомотетії з центром O і коефіцієнтом k, якщо OX₁⃗ = k·OX⃗. Якщо k > 0, то X₁ лежить на промені OX; якщо k < 0, то X₁ лежить на промені, протилежному до OX, тобто по інший бік від O. Наприклад, при k = −½ або k = −3 образ лежить з іншого боку від центра, а при k = −1 гомотетія є центральною симетрією відносно O. Відстані множаться на |k|: A₁B₁ = |k|·AB.

Коли довжини множаться на k, площа множиться на k · k: за коефіцієнта 3 площа стає в 9 разів більшою, а не в 3. Подібність — це композиція гомотетії та руху. Фігури F і F₁ називають подібними, пишуть F∽F₁. Коефіцієнт подібності k = A₁B₁/AB; якщо k = 1, подібність є рухом. Площі подібних фігур відносяться як k².