Формули додавання і подвійного аргументу

В українській програмі це тема 10 класу (алгебра і початки аналізу, § 2, пункт 13 «Формули додавання»): формули додавання й подвійного аргументу. Відповіді виходять із точних значень для 30°, 45° і 60° (30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3); на малюнку показано одиничне коло з потрібними кутами.

Формули додавання — це формули, які виражають cos (α ± β), sin (α ± β) і tg (α ± β) через тригонометричні функції кутів α і β. Спочатку доводять косинус різниці через скалярний добуток векторів OP₁ і OP₂ з координатами (cos α; sin α) і (cos β; sin β): cos (α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ. Заміна β на −β дає косинус суми: cos (α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ. З формул зведення: sin (α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ, tg (α + β) = tgα + tgβ1 − tgαtgβ. Для різниці α − β знаки змінюються. Синус не розподіляється на суму: sin (α + β) не дорівнює sinα + sinβ.

Поклавши β = α, отримуємо формули подвійного аргументу: sin 2α = 2sinαcosα, cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1. Наприклад, sin 2αsinα = 2cosα.