Наслідки з теореми косинусів
Вид трикутника за найбільшою стороною (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), сума квадратів діагоналей паралелограма й задача зі сторонами AB і BC. Розділ: 9 клас, геометрія, §2 «Теорема косинусів».
- Україна: 9 клас
- Росія: 9 клас
- Німеччина: 9 клас
- Франція: 11 клас
- Сирія: 11 клас
Поради для дорослих
У 9 класі (геометрія, §2 «Теорема косинусів») сторони трикутника позначають a, b, c, а протилежні їм кути — α, β, γ. Теорема косинусів: a2 = b2 + c2 − 2bccosα. Звідси 2bccosα = b2 + c2 − a2.
Наслідок з теореми косинусів. Нехай a — довжина найбільшої сторони трикутника. Якщо a2 < b2 + c2, трикутник гострокутний. Якщо a2 > b2 + c2, трикутник тупокутний. Якщо a2 = b2 + c2, трикутник прямокутний. Це пояснюється знаком косинуса найбільшого кута: додатний, від'ємний або нуль.
Задача 1. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін: BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2, де a і b — сусідні сторони. Її доводять, записавши теорему косинусів для трикутників ABD і ACD (кути α і 180° − α) і додавши рівності.
Задача 2. Теорема косинусів може дати квадратне рівняння. Корінь, що не задовольняє умову (довжина не може бути від'ємною), відкидають. Розв'язання записують так: «Розв'язання. … Відповідь: …». Трикутники намальовано в масштабі: 1 клітинка на полі дорівнює 1 см.