Додавання векторів, множення вектора на число, координатні вектори

В українській програмі додавання й віднімання векторів і множення вектора на число вивчають у 9 класі (геометрія, «Вектори»), а в 10 класі повторюють для векторів у просторі. Запис вектора через координатні вектори i та j у підручнику 9 класу майже не трапляється; тут він — корисне доповнення.

Щоб додати два вектори, відклади їх один за одним (правило трикутника): початок другого ставлять у кінець першого. a + b — стрілка з початку a в кінець b. У координатах додають відповідні координати: (3; 1) + (1; 3) = (4; 4). Якщо a і b відкладено від однієї точки, a + b — діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах (правило паралелограма).

a − b означає a + (−b): −b — вектор, протилежний вектору b: та сама довжина, протилежний напрям. У координатах віднімають відповідні координати.

2a — вектор a, розтягнутий удвічі, у той самий бік: обидва числа подвоюються. −12a удвічі коротший і напрямлений у протилежний бік: обидва числа множаться на −12. Число перед вектором — множник, на який множать вектор. Для векторів справджуються властивості: (km)a⃗ = k(ma⃗), (k + m)a⃗ = ka⃗ + ma⃗, k(a⃗ + b⃗) = ka⃗ + kb⃗. Наприклад, 2(a⃗ − b⃗) + 3b⃗ = 2a⃗ − 2b⃗ + 3b⃗ = 2a⃗ + b⃗. Якщо b⃗ = ka⃗, то при k > 0 маємо b⃗↑↑a⃗, при k < 0 маємо b⃗↑↓a⃗, і |b⃗| = |k||a⃗|.

i = (1; 0) — один крок праворуч, j = (0; 1) — один крок угору: це координатні вектори. Будь-який вектор дорівнює скільки-то i плюс скільки-то j: (3; −2) = 3i − 2j. Обережно: довжина (модуль) a + b зазвичай менша, ніж сума довжин a і b, бо прямий шлях коротший за шлях в обхід.