Площа й об'єм за допомогою векторного добутку
Довжина векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на них. Для трьох векторів визначник дає об'єм паралелепіпеда.
- Росія: 11 клас
- Іран: 12 клас
Поради для дорослих
В українській програмі цієї теми немає: у 10 класі вивчають лише скалярний добуток векторів (§ 42), а векторний і мішаний добутки належать до поглибленого рівня. Якщо a⃗ і b⃗ — дві сторони паралелограма, то його площа дорівнює довжині їхнього векторний добутоку: |a⃗·b⃗|. Трикутник, побудований на тих самих двох векторах, має площу вдвічі меншу.
Три вектори, які не лежать в одній площині, задають паралелепіпед. Його об'єм дорівнює |a⃗·(b⃗·c⃗)|. Це модуль визначника третього порядку, рядки якого — координати векторів a⃗, b⃗ і c⃗. Якщо визначник дорівнює нулю, то об'єм дорівнює нулю: три вектори лежать в одній площині.
Типові помилки: забувають поділити навпіл для трикутника, гублять мінус перед середнім доданком під час розкладання визначника і додають координати замість того, щоб знайти довжину вектора.