Площади, объёмы и длины дуг с помощью интеграла
С помощью определенный интеграл найди площадь под кривой и между двумя кривыми, объём тела вращения, длину дуги и площадь в полярных координатах.
- Россия: 11 класс
- Украина: 11 класс
- Германия: 12 класс
- Франция: 12 класс
- Великобритания: Year 13
- Иран: 12 класс
- Афганистан: 12 класс
- Сирия: 12 класс
- Палестина: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе площадь криволинейной трапеции и вычисление площадей с помощью определённого интеграла изучают в 11 классе (алгебра и начала математического анализа, формула Ньютона–Лейбница), а объём тела вращения — в геометрии 11 класса. Длины дуг и полярных координат в школьной программе нет, но они есть в курсе высшей математики. Площадь под графиком y = f(x) от a до b — это определённый интеграл от f(x)dx в пределах от a до b: найди первообразную в точках b и a и вычти. Площадь между двумя кривыми всегда находи как интеграл от «верхняя минус нижняя».
Если вращать фигуру вокруг оси Ox, объём равен V = π∫(f(x))2dx: возведи функцию в квадрат и оставь π. Длина дуги: L = ∫√(1 + (f′(x))2)dx.
В полярных координатах площадь, которую заметает радиус r, равна A = 12∫r2dθ. Не забудь половину и квадрат.