Производные синуса, показательной функции, логарифма и обратной функции
Проверь производную sin x возле нуля, проведи касательную к ex, используй ln x как зеркальное отражение ex, чтобы найти его производную, и перенеси правило обратной функции на arctg.
- Россия: 11 класс
- Украина: 11 класс
- Франция: 11 класс
- Великобритания: Year 12
- Иран: 12 класс
- Афганистан: 12 класс
- Сирия: 11 класс
- Палестина: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе производные элементарных функций (sin x, cos x, e^x, ln x) изучают в 11 классе (алгебра и начала математического анализа, раздел «Производные элементарных функций»). Производная обратной функции и арктангенса — материал углублённого уровня. (sin x)′ = cos x и (cos x)′ = −sin x. Возле 0 кривая sin x почти совпадает с прямой y = x, поэтому её угловой коэффициент там равен 1, то есть cos 0.
(ex)′ = ex: в каждой точке угловой коэффициент касательной равен высоте точки. ln x — функция, обратная к ex, и (ln x)′ = 1x.
Если f(a) = b, то производная обратной функции в точке b равна (f−1)′(b) = 1f′(a). Обратная кривая — зеркальное отражение графика f относительно прямой y = x, поэтому угловые коэффициенты «переворачиваются».