От первообразной к определённому интегралу
Найди первообразную и пойми, зачем нужна постоянная C, вычисли определённый интеграл по формуле F(b) − F(a), найди среднее значение функции и познакомься с интегралом от 1x.
- Россия: 11 класс
- Украина: 11 класс
- Германия: 12 класс
- Франция: 12 класс
- Великобритания: Year 12
- Иран: 12 класс
- Афганистан: 12 класс
- Сирия: 12 класс
- Палестина: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе это тема 11 класса (курс «Алгебра и начала математического анализа»): первообразная, таблица первообразных, интеграл и формула Ньютона–Лейбница. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию. Функцию F называют первообразная функции f, если F′(x) = f(x). Сдвиг графика вверх или вниз не меняет его углового коэффициента, поэтому у функции бесконечно много первообразных, отличающихся на постоянную: ∫f(x)dx = F(x) + C (неопределенный интеграл).
Чтобы вычислить определенный интеграл от a до b, найди первообразную F и вычисли F(b) − F(a): сначала значение в верхнем пределе, потом вычти значение в нижнем (формула Ньютона–Лейбница). Это площадь под графиком; ниже оси Ox она берётся со знаком «минус».
Среднее значение функции f на отрезке [a; b] — это определённый интеграл, делённый на длину отрезка b − a. Формула для степени ∫xndx = xn + 1/(n + 1) + C верна при любом n, кроме −1: ∫1xdx = ln|x| + C. Среднее значение функции в школьной программе отдельно не вводится, мы добавили его для полноты.