Знак производной и вид графика
По знаку f′(x) определи, где график возрастает и убывает, поставь стационарные точки, найди точку перегиба с помощью f″(x) и вычисли наибольшее значение.
- Россия: 11 класс
- Украина: 10 класс
- Германия: 11 класс
- Франция: 11 класс
- Великобритания: Year 12
- Иран: 12 класс
- Афганистан: 12 класс
- Сирия: 11 класс
- Палестина: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе это тема 11 класса: «Исследование функции на монотонность и экстремумы». Если f′(x) > 0 на промежутке, функция на нём возрастает (возрастающая функция). Если f′(x) < 0, функция убывает (убывающая функция). Например, для f(x) = x2 − 2x функция возрастает на промежутке [1; + ∞) и убывает на (−∞;1].
Точки, в которых f′(x) = 0, называют стационарными: там касательная горизонтальна. Если при переходе через такую точку знак f′ меняется с «+» на «−», это точка максимума (xmax); с «−» на «+» — точка минимума (xmin). Точки максимума и минимума вместе называют точками экстремума. Пример: для f(x) = (32)x2 − (14)x3 получаем f′(x) = (3x4)(4 − x), знак меняется с «−» на «+» в точке 0 и с «+» на «−» в точке 4, значит, xmin = 0, xmax = 4.
Вторая производная f″(x) показывает, куда выгнут график; в классах с углублённым изучением математики её используют для исследования функции. Там, где знак f″ меняется, находится точка перегиба. В точке минимума f″(x) > 0, а в точке максимума f″(x) < 0.