Метод ГМТ в задачах на построение: точка, окружность, треугольник
Искомую точку находим как пересечение двух геометрических мест точек. Реши три задачи: точка на прямой на заданном расстоянии от другой прямой, окружность, касающаяся прямой в заданной точке, и треугольник по стороне и радиусу описанной окружности.
- Украина: 7 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе геометрическое место точек (ГМТ) и задачи на построение изучаются в 7 классе, а касательная и описанная окружность — в 7–8 классах. Задачи на построение решают циркулем и линейкой без делений в четыре этапа: анализ, построение, доказательство, исследование. Метод ГМТ: чтобы найти искомую точку, задают её двумя условиями, строят два ГМТ и берут их пересечение.
Задача 1. На прямой m найти точку, удалённую от прямой AB на расстояние a. Анализ: все точки, удалённые от прямой AB на a, лежат на двух прямых, параллельных AB. Искомая точка — общая точка прямой m и этих прямых. Исследование: задача может иметь два решения, одно, ни одного или бесконечно много (когда m совпадает с одной из параллельных прямых).
Задача 2. Построить окружность, проходящую через точку B и касающуюся прямой m в точке A. Анализ: центр O лежит на перпендикуляре к m в точке A (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной) и на серединном перпендикуляре к отрезку AB (OA = OB). Значит, O — точка пересечения этих двух прямых.
Задача 3. Построить треугольник ABC по стороне AB и радиусу R описанной окружности. Анализ: центр O описанной окружности удалён от A и от B на R, поэтому O — точка пересечения двух окружностей радиуса R с центрами A и B. Построим окружность с центром O радиуса R; любая её точка C вместе с A и B даёт искомый треугольник. Исследование: если AB < 2R, задача имеет бесконечно много решений; если AB = 2R, центр лежит на AB; если AB > 2R, решений нет.
После построения всегда отвечай на вопрос: «Сколько решений может иметь задача?»