Симметрия и гомотетия в пространстве

В российской программе симметрию относительно точки, прямой и плоскости изучают в 10 классе, в разделе «Многогранники». Симметрию сферы и шара, гомотетию в пространстве и движения пространства (параллельный перенос, симметрии, поворот вокруг прямой) проходят в 11 классе; на базовом уровне эти темы изложены кратко, а на углублённом уровне разбираются подробно.

Точки A и A₁ симметричны относительно плоскости α, если эта плоскость проходит через середину отрезка AA₁ и перпендикулярна ему. В координатах симметрия относительно плоскости Oxz меняет знак только у y, относительно начала координат — у всех трёх координат.

При гомотетии с коэффициентом k все длины умножаются на |k|, площади — на k², объёмы — на |k|³. Плоскостью симметрии фигуры называют плоскость, относительно которой фигура переходит сама в себя.

Частые ошибки: умножать объём на k вместо k³, путать образ точки с её проекцией и считать плоскости симметрии куба только по граням.