Корни n-й степени и степени с рациональным показателем

В российской программе корень n-й степени и степень с рациональным показателем изучают в 9 классе (алгебра).

Корнем n-й степени из числа a, где n ∈ ℕ, n > 1, называют такое число, n-я степень которого равна a. Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Обозначают ⁿ√a. Например, ⁴√81 = 3, так как 3 ≥ 0 и 3⁴ = 81; ⁶√64 = 2; ¹⁰√0 = 0. Для арифметического корня ⁿ√a ≥ 0 и (n√a)ⁿ = a.

Если n чётное, то положительное число a имеет два корня n-й степени, противоположные числа; например, корнями уравнения x⁴ = 5 являются два числа: −⁴√5 и ⁴√5. Отрицательное число не имеет корня чётной степени. Если n нечётное, то каждое число имеет ровно один корень n-й степени, того же знака; например, ³√(−2) = −³√2, и вообще ²ᵏ⁺¹√(−a) = −²ᵏ⁺¹√a. Знак ⁿ√a всегда означает арифметический (неотрицательный) корень.

Правило произведения: ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab) для неотрицательных a и b.

Степень с рациональным показателем определяют только для a > 0: a¹ⁿ означает ⁿ√a, а a^mn означает ⁿ√aᵐ, что равно (ⁿ√a)ᵐ.