Площадь и объём с помощью векторного произведения
Длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на них. С тремя векторами определитель даёт объём параллелепипеда.
- Россия: 11 класс
- Иран: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе векторное произведение векторов входит в углублённый уровень геометрии 11 класса. Если a⃗ и b⃗ — две стороны параллелограмма, его площадь равна длине их векторного произведения: |a·b|. Треугольник, построенный на тех же двух векторах, имеет вдвое меньшую площадь.
Три вектора, не лежащие в одной плоскости, задают параллелепипед. Его объём равен |a·(b·c)|: это модуль определителя 3 · 3, строки которого — координаты a⃗, b⃗ и c⃗. Если определитель равен нулю, объём нулевой: три вектора лежат в одной плоскости (компланарны).
Частые ошибки: забывать разделить пополам для треугольника, забывать минус перед средним слагаемым при разложении определителя и складывать координаты вместо нахождения длины вектора.