Скалярное произведение векторов: длины, угол, координаты

В российской программе скалярное произведение векторов в пространстве изучают в 11 классе (геометрия, координатно-векторный метод); на плоскости оно есть уже в 9 классе. Углом между ненулевыми векторами a⃗ и b⃗ называют угол AOB, где OA⃗ = a⃗, OB⃗ = b⃗. Его обозначают ∠(a⃗, b⃗), 0° ≤ ∠(a,b) ≤ 180°. Векторы перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение двух векторов — это произведение их длин на косинус угла между ними: a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos ∠(a⃗, b⃗). Скалярное произведение a⃗ · a⃗ называют скалярным квадратом и пишут a⃗², причём a⃗² = |a⃗|². Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a⃗ · b⃗ = 0.

Для a⃗{a₁; a₂; a₃} и b⃗{b₁; b₂; b₃}: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Отсюда cos∠(a,b) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃√(a₁² + a₂² + a₃²)·√(b₁² + b₂² + b₃²).

Скалярное произведение переместительно, (ka)·b = k(a·b) и распределительно относительно сложения. Поэтому (a⃗ + b⃗)² = a⃗² + 2a⃗ · b⃗ + b⃗².

Решение записывают так: «Дано», «Найти», «Решение», «Ответ».