Вектор на плоскости: координаты, длина, скалярное произведение

В российской программе координаты вектора, его длину и скалярное произведение изучают в 9 классе (геометрия). Вектор на плоскости задают координатами: AB (x₂ − x₁;y₂ − y₁), где A (x₁;y₁) и B (x₂;y₂). Длина вектора a (a₁;a₂) равна |a| = √(a₁² + a₂²).

Угол между двумя ненулевыми векторами a и b — это угол AOB, где OA = a, OB = b. Его обозначают ∠(a, b); для сонаправленных векторов он равен 0°, для противоположно направленных — 180°. Векторы перпендикулярны, когда угол равен 90°: a ⊥ b.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов — это произведение их длин на косинус угла между ними: a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). В координатах: a · b = a₁b₁ + a₂b₂. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a · b = 0.

Косинус угла между ненулевыми векторами: cos∠(a,b) = a₁b₁ + a₂b₂√(a₁² + a₂²)·√(b₁² + b₂²).