Від первісної до визначеного інтеграла

В Україні це тема 11 класу: пункти «Первісна», «Правила знаходження первісної» та «Площа криволінійної трапеції. Визначений інтеграл». Інтегрування — дія, обернена до диференціювання. Функцію F називають первісна функції f на проміжку I, якщо для всіх x з проміжку I виконується рівність F′(x) = f(x). Наприклад, x² — первісна функції 2x на (−∞; +∞), а √x — первісна функції 1/(2√x) на (0; +∞). Функції x² + 1 і x² − 2 обидві є первісними функції 2x, тому до первісної додають сталу. Мета інтегрування — знайти всі первісні: ∫f(x)dx = F(x) + C (невизначений інтеграл).

Первісна суми: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx. Первісна добутку на сталу: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx. Таблиця первісних: ∫cos xdx = sin x + C, ∫sin xdx = −cos x + C, ∫1cos²xdx = tg x + C, ∫e^xdx = e^x + C, ∫a^xdx = a^xlna + C, ∫12√xdx = √x + C. Якщо F — первісна функції f, то Fkx + bk — первісна функції f(kx + b).

Нехай F — первісна функції f на проміжку [a; b]. Тоді ∫baf(x)dx = F(b) − F(a) (формула Ньютона—Лейбніца); для обчислення пишуть F(x)|ba: спершу верхня межа, потім віднімаємо нижню. Площа криволінійної трапеції S = F(b) − F(a); під віссю x значення інтеграла від'ємне.

Середнє значення функції f на [a; b] — це визначений інтеграл, поділений на довжину b − a. У шкільному курсі цього поняття немає, його додано для повноти. Правило степеня ∫xⁿdx = x^{n + 1}/(n + 1) + C виконується для всіх n, крім −1: ∫1xdx = ln|x| + C.