Знак похідної та вигляд графіка

В Україні це тема 10 класу: пункти «Ознаки зростання і спадання функції» та «Точки екстремуму функції». Теорема про сталість: якщо для всіх x із проміжку I виконується рівність f′(x) = 0, то функція f є константою на I. Теорема про зростання: якщо f′(x) > 0 для всіх x із проміжку I, то f — зростаюча функція на I. Теорема про спадання: якщо f′(x) < 0, то f — спадна функція на I. Якщо функція диференційовна в кінці проміжку зростання (спадання), то цю точку приєднують до проміжку. Наприклад, для f(x) = x² − 2x функція зростає на [1; +∞) і спадає на (−∞; 1].

Окіл точки x₀ — це проміжок (a; b), що містить x₀. Точку x₀ називають точкою максимуму функції f, якщо існує окіл точки x₀ такий, що для всіх x із цього околу виконується нерівність f(x₀)⩾f(x); позначення: x_max = x₀. Аналогічно визначають точку мінімуму x_min (нерівність f(x₀)⩽f(x)). Точки максимуму і мінімуму мають спільну назву — точки екстремуму. Якщо для всіх x ∈ (a; x₀] виконується f′(x)⩾0, а для всіх x ∈ [x₀; b) виконується f′(x)⩽0, то x₀ — точка максимуму (знак f′ змінюється з плюса на мінус); з мінуса на плюс — точка мінімуму. Там, де f′(x) = 0, дотична горизонтальна. Приклад: для f(x) = (32)x² − (14)x³ маємо f′(x) = (3x4)(4 − x); знак f′ змінюється з «−» на «+» у точці 0 і з «+» на «−» у точці 4. Отже, x_max = 4, x_min = 0. Маємо: f(4) = 8, f(0) = 0.