Особливі суми, різниці та моделювання
Побудуй суму квадратів, додай ряд методом скорочення, знайди n-й член квадратичної послідовності й розв'яжи життєву задачу за допомогою арифметичної прогресії.
- Велика Британія: Year 12
- Іран: 12 клас
Поради для дорослих
В українській програмі арифметичну й геометричну прогресії вивчають у 9 класі (алгебра), а в додатковому матеріалі «Сумування» записують суми знаком Σ і користуються доведеними формулами сум. Суму квадратів, метод скорочення доданків і квадратичні послідовності основний текст підручників не розглядає, тож ця частина студії — доповнення до програми. Сума квадратів: Σk2 = n(n + 1)2n + 16 для k від 1 до n. Сума натуральних чисел дорівнює nn + 12, а сума кубів — її квадрату. Ці формули скорочують довгі суми.
Метод скорочення: якщо кожен доданок можна записати як «різницю двох виразів», то проміжні доданки скорочуються. Наприклад, 1k(k + 1) = 1k − 1k + 1.
У квадратичній послідовності перші різниці не сталі, а другі різниці сталі. n-й член дорівнює an2 + bn + c, а друга різниця дорівнює 2a. Щоб знайти решту, спершу відніми від членів n2, помножене на a.
Моделювання: спочатку визнач, прогресія арифметична чи геометрична, потім знайди a, d або q і n та підстав їх у формулу.
Часті помилки: плутають суму квадратів з квадратом суми; у методі скорочення лишають нескорочені доданки; беруть першу різницю за n-й член; в арифметичній сумі беруть n замість n − 1.