Загальні розв'язки тригонометричних рівнянь

В українській програмі (10 клас, алгебра і початки аналізу, § 2, пункти 15–17) рівняння cos x = b розв'язують за графіком: пряма y = b перетинає косинусоїду, якщо |b|⩽1. Вісь x на малюнку проградуйовано в радіанах.

Арккосинусом числа b, де |b| ⩽ 1, називають таке число α з проміжку [0; π], косинус якого дорівнює b. Позначення: arccos b. Наприклад, arccos (12) = π/3, оскільки π/3 ∈ [0; π] і cos π/3 = 1/2; arccos (−√22) = 3π4. Для cos x = b при |b|⩽1 корені: x = ±arccos b + 2πn,n ∈ ℤ, а arccos (−b) = π − arccos b. Особливі випадки (без ±): cos x = 1: x = 2πn; cos x = 0: x = π/2 + πn; cos x = −1: x = π + 2πn, n ∈ ℤ.

Арксинусом числа b, де |b| ⩽ 1, називають таке число α з проміжку [−π/2; π/2], синус якого дорівнює b. Для sin x = b: x = (−1)ⁿarcsin b + πn,n ∈ ℤ, і arcsin (−b) = −arcsin b. Особливі випадки: sin x = 1: x = π/2 + 2πn; sin x = 0: x = πn; sin x = −1: x = −π/2 + 2πn. Арктангенсом числа b називають таке число α з проміжку (−π/2; π/2), тангенс якого дорівнює b; наприклад, arctg √3 = π/3, оскільки π/3 ∈ (−π/2; π/2) і tg π/3 = √3. Для tg x = b: x = arctg b + πn,n ∈ ℤ, і arctg (−b) = −arctg b.

Коли рівняння зводиться до квадратного відносно sin x чи cos x, заміна t = sin x дає значення t; кожне з них має бути в проміжку [ − 1;1], інакше розв'язків немає. Часто спочатку потрібна тотожність: cos 2x = 1 − 2sin²x або 1cos²x = 1 + tg²x, і тільки потім заміна. Аргумент може бути складнішим: наприклад, cos 4x = −√2/2 дає 4x = ±3π/4 + 2πn, тобто x = ±3π/16 + πn/2.