Кути, перетини та відстані в просторі
Знайди кут між прямою та площиною, точку перетину прямої з площиною, відстань від точки до площини й кут між двома площинами за допомогою скалярних добутків і рівнянь.
- Росія: 11 клас
- Німеччина: 12 клас
- Франція: 12 клас
- Велика Британія: Year 13
- Іран: 12 клас
- Сирія: 12 клас
Поради для дорослих
В українській програмі кут між прямою та площиною, кут між площинами і скалярний добуток векторів у просторі вивчають у 10 класі (геометрія, пункти 36, 37 і 42), але з рівнянням площини та формулою відстані від точки до площини ця тема в такому вигляді подається лише на поглибленому рівні. Кут θ між прямою (напрямний вектор d) і площиною (нормальний вектор n) знаходять за його синусом: sinθ дорівнює модулю скалярного добутку d·n, поділеному на добуток двох довжин. Кут між двома площинами — це гострий кут між їхніми нормалями.
Щоб знайти точку перетину прямої r = a + td з площиною, підстав координати точки прямої в рівняння площини й розв'яжи рівняння відносно t. Відстань від точки P до площини Ax + By + Cz = D дорівнює модулю виразу (ліва частина в точці P мінус D), поділеному на довжину нормалі.
Типові помилки: брати косинус замість синуса для кута з площиною, забувати ділити і брати тупий кут замість гострого між двома площинами.