Вектори в доведеннях і задачах
Знайди точку рівноваги точок із вагами (центр мас), векторне доведення (відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника) і розв'яжи задачі про швидкість та паралелограми, малюючи вектори.
- Україна: 9 клас
- Росія: 9 клас
- Велика Британія: Year 11
- Сирія: 10 клас
Поради для дорослих
Ця додаткова студія для тих, хто вміє додавати вектори й множити вектор на число. В українській програмі застосування векторів (розв'язування задач і доведення теорем) вивчають у 9 класі (геометрія, § 4, «Застосування векторів»); центр мас системи точок із різними вагами окремо подається не завжди. Центр мас (барицентр) точок A і B із вагами 1 і 2 — це точка G, для якої OG = a + 2b3: G ближча до точки з більшою вагою.
У доведенні за допомогою векторів ми записуємо кожен відрізок як вектор і спрощуємо додаванням та множенням на число. Наприклад, у трикутнику відрізок, що сполучає середини двох сторін, паралельний третій стороні й удвічі коротший за неї (середня лінія трикутника).
У підручнику є три застосування векторів. 1) Середня лінія трикутника: якщо M і N — середини сторін AB і BC, то MN⃗ = ½AC⃗. 2) Точка перетину медіан M трикутника ABC (центроїд) для довільної точки X: XM⃗ = ⅓(XA⃗ + XB⃗ + XC⃗). 3) Пряма Ейлера: якщо O — центр описаного кола, H — ортоцентр, M — точка перетину медіан, то 3OM⃗ = OH⃗, тому O, M, H лежать на одній прямій.
Типові помилки: брати середину відрізка замість точки з вагами, забувати поділити навпіл і додавати довжини замість координат.