Скалярний добуток векторів: модулі, кут, координати
Обчисли скалярний добуток за модулями й кутом, піднеси суму векторів до квадрата, знайди косинус кута між векторами й кут трикутника за координатами вершин.
- Україна: 10 клас
- Росія: 9 клас
- Німеччина: 12 клас
- Франція: 11 клас
- Сирія: 11 клас
- Палестина: 11 клас
Поради для дорослих
У 10 класі (геометрія, §6, п.42) кутом між ненульовими векторами a і b називають кут AOB, де OA = a, OB = b. Його позначають ∠(a, b), 0° ⩽ ∠(a⃗,b⃗) ⩽ 180°. Вектори перпендикулярні, якщо кут між ними 90°.
Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними: a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). Скалярний квадрат a · a позначають a², і a² = |a|². Вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли a · b = 0.
Для a (a1;a2;a3) і b (b1;b2;b3) маємо a⃗·b⃗ = a1b1 + a2b2 + a3b3. Звідси cos∠(a⃗,b⃗) = a1b1 + a2b2 + a3b3√(a12 + a22 + a32)·√(b12 + b22 + b32).
Скалярний добуток має властивості a · b = b · a, (ka) · b = k(a · b), (a + b) · c = a · c + b · c. Тому (a + b)² = a² + 2a · b + b².